คู่อันดับและผลคูณคาร์ทีเซียน

คู่อันดับ
คู่อันดับประกอบด้วยสมาชิก 2 ตัว เขียนแทนคู่อันดับในรูป (a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้าและ b เป็นสมาชิกตัวหลัง อันดับของสมาชิกถือว่าสำคัญ กล่าวคือการสลับที่กันระหว่างสมาชิกทั้งสองอาจทำให้ความหมายของคู่อันดับเปลี่ยนไปได้

สมบัติของคู่อันดับ

1. (a,b) = (b,a) ก็ต่อเมื่อ a = b

2. ถ้า (a,b) = (c,d) แล้วจะได้ a = c และ b = d

3. ถ้า (a,b) ≠ (c,d) แล้วจะได้ a ≠ c หรือ b ≠ d







• ผลคูณคาร์ทีเซียน
ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมดซึ่ง a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B และเขียนแทนด้วย A× B

นั่นคือ A× B = { (a,b) a ∈ A และ b ∈ B }

สมบัติของผลคูณคาร์ทีเซียน

กำหนด A, B และ C เป็นเซตใดๆ แล้ว

1.
A× B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ B × A

A× B = B × A ก็ต่อเมื่อ A = B หรือ A = Ø หรือ B = Ø

A× B ≠ B × A ก็ต่อเมื่อ A ≠ B ≠ Ø

2.
A × Ø = Ø × A = Ø

3.
A × ( B ∪ C )
= (A× B) ∪(A × C)


(A ∪ B) × C
= (A× C) ∪(B × C)

4.
A × ( B ∩ C )
= (A× B) ∩ (A × C)




(A ∩ B) × C
= (A× B) ∩ (B × C)



5.
A × ( B - C )
= (A× B) - (A × C)




(A - B) × C )
= (A× C) - (B × C)



6.
ถ้า A ⊂ B แล้ว A × C ⊂ B × C

7.
ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดแล้ว n( A × B ) = n(A) × n(B)

8.
ถ้า A เป็นเซตอนันต์ และ B เป็นเซตจำกัด ซึ่ง B ≠ Ø แล้ว A × B เป็นเซตอนันต์